パラメータが複数個の線形回帰
パラメータが$n$個存在するとき、線形回帰の仮説関数は、式(1)の通りとなる。
\begin{equation}
h_\theta(x) = \theta_0 + \theta_1 x_1 + \theta_2 x_2 + ... + \theta_n x_n
\end{equation}
ここで、$\theta$および$x$を下のような行列で表現すると（$x_0$は式を単純化できるように便宜的に追加したもので、値は常に1とする）、
\begin{equation}
\theta = \begin{bmatrix}\theta_0 \\ \theta_1 \\ \theta_2 \\ \vdots \\ \theta_n \end{bmatrix}, x = \begin{bmatrix} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}
\end{equation}
仮説関数は式(3)のように表現できる。
\begin{equation}
h_\theta(x) = \theta^T x
\end{equation}
コスト関数は、式(4)の通りになる。表現方法が変わっただけで、内容はweek 1と特に変わらない。
\begin{equation}
J(\theta) = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^m (h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})^2
\end{equation}
再急降下法の式は、次のように一般化される（$j=1..n$）。
\[
\theta_j := \theta_j - \alpha\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m ((h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})x^{(i)}_j)
\]
$\theta_0$については、$x_0 = 1$であるため、結局最後の$x^{(i)}_j$の部分が消えて、week 1の式と同等になる。
パラメータ値の調整
Feature Scalingと、Mean Normalizationという2つの手法がある。これらを使うことで、gradient descentを早く収束させられる。
Feature Scalingでは、パラメータの値を（そのパラメータの最大値 - そのパラメータの最小値）で割ることによって、パラメータの値を概ね-1から1の間に収めようとする。
Mean Normalizationでは、パラメータの値から、そのパラメータの平均値を引くことによって、そのパラメータの平均値概ね0になるように調整する。
まとめると、それぞれのパラメータの値を、次のように調整する。
\begin{equation}
x^{(i)}_j = \frac{x^{(i)}_j - mean(x_j)}{max(x_j) - min(x_j)}
\end{equation}
x^{(i)}_j = \frac{x^{(i)}_j - mean(x_j)}{max(x_j) - min(x_j)}
\end{equation}
learning rateの選定
$\alpha$の値は、0.001, 0.003, 0.01, 0.03, 0.1, 0.3, 1, ... というように調整していくのがいいらしい。
Normal Equation
最小の$\theta$を求める方法として、再急降下法のほかに、次の式を解く方法があり、これがNormal Equationと呼ばれる。
\begin{equation} \theta = (X^T X)^{-1} X^T y \end{equation}
どうやらgradient descentの式からこれを導出できるようなのだが、詳しいことは今後調べていく。
このあたりの記事が参考になるかもしれない。
Qiita - 線形回帰のNormal Equation（正規方程式）について
